音分

    音高頻率的關係實際上是一個比率關係，比如說 A 的音高頻率。假設是 440Hz，那高八度的 A 為 440*2 = 880Hz，再高八度應為 880*2 = 1760Hz 而不會是 440 * 3 = 1320Hz。

    在一個比率關係的系統中。使用對數尺標是一個常見而且方便的方式，和聲音音量有關的分貝(dB）基本上也是一個對數尺標。

    使用對數尺標的好處是可以把原本的乘除計算轉變成為加減計算。這是因為

    Log(ab) = Log(a) + Log(b)

    在作音程分析最常使用的是把一個八度分成 1200 個音分。這樣的好處是在十二平均律下每一個半音恰恰好為 100個音分。當然要分成其他數量也是可以，但目前分成 1200音分為最為普遍的做法。

    所以音分的計算公式為：兩個音符音高頻率分別為 a, b 那這兩個音高差幾個音分。

    音分(cent) = 1200*Log(b/a) / Log(2)

     目前音分沒有一個公認的基準點（比如說 C0 為 0 音分，或 A 440Hz 為 0 音分）主要都只管相差的差值。

    八度為最和諧的不管怎樣的律制(純律，五度相生律，十二平均律)八度都是固定的。而八度音程頻率比 b/a 為 2 也就是高八度頻率為兩倍。故音分可以簡單算出為 1200 音分。

    純五度音程頻率比 b/a 為 3/2 所以音分為
    音分(cent) = 1200*Log(3/2) / Log(2) = 701.9550009 ~ 702
    而十二平均律的五度為 700 cent (我們說平均律半音皆為 100 cent)


    純四度音程頻率比 b/a 為 4/3 所以音分為

    音分(cent) = 1200*Log(4/3) / Log(2) = 498.0449991 ~ 498

    而十二平均律的四度為 500 cent

    純五度 + 純四度 = 八度

    702 + 498 = 1200 !!

    從頻率比來看 3/2 * 4/3 = 2 !!

     使用加減計算比乘除來的容易多而且容易被瞭解，這就是使用音分來表示的好處。

小提琴的音準問題(四)

純律的產生 

 五度相生律有一個缺點就是在大3度時，其比率為 81/64。這個比率整數過大，使得聽起來不是那麼的和諧。所以有了純律的發展。 純律修改了五度相生律中比率比較不和諧的三度，六度和七度的比率。

五度相生律

音名

C

D

E

F

G

A

B

C

相對主音頻率比率

1

9/8

81/64

4/3

3/2

27/16

243/128

2

相對前一音比率

9/8

9/8

256/243

9/8

9/8

9/8

256/243

音分

相對主音音分

0

204

408

498

702

906

1110

1200

相對前一音音分

204

204

90

204

204

204

90

相對平均律音音分

0

+4

+8

-2

+2

+6

+10

0

純律
音名	C		D		E		F		G		A		B		C
相對主音頻率比率	1		9/8		5/4		4/3		3/2		5/3		15/8		2
相對前一音比率		9/8		10/9		16/15		9/8		10/9		9/8		16/15
音分
相對主音音分	0		204		386		498		702		884		1088		1200
相對前一音音分		204		182		112		204		182		204		112
相對平均律音音分	0		+4		-14		-2		+2		-16		-12		0

這樣可以讓大三度的比率為 5/4。 C->E, F->A, G->B 這幾個大三度都是 5/4。

但是，純律最麻煩的是全音有 9/8(204cent) 或 10/9(182cent) 兩種音差。這會讓純律的移調變得非常的麻煩。

而純律另外一個特色就是半音間距為 112cent，這個比平均律(100cent) 和五度相生律(90cent) 都來的大。

平均律的全音間距都想等，而半音間距為全音的一半。使得平均律的移調變的最單純，升降記號同音高。

五度相生律，全音間距相等，半音間距比全音一半小，但是兩個半音也都相等。使得五度相生律移調沒有升降記號的音和 C 大調都相同，但是原本平均律同音高的升降記號音高變成不一樣。

而純律，全音音差有兩種。這樣會導致移調時沒有升降記號的音也會改變音高。以下為範例。

純律C大調移至G大調
音名	C		D		E		F		G		A		B		C		D		E		F		G
相對主音音分	0		204		386		498		702		884		1088		1200		1404		1586		1698		1902
相對前一音音分		204		182		112		204		182		204		112		204		182		112		204
音名									G		A		B		C		D		E		F#		G
相對主音音分									702		906		1088		1200		1404		1586		1790		1902
相對前一音音分										204		182		112		204		182		204		112

可以發現，純律移調後，除了原本平均律和五度相生律會改變的 #F 外，A 也需要做調整了。

小提琴的音準問題(三)

五度相生律的升降記號

升降記號可以說是從移調而來的，從上一個範例中當 C 大調移到 G 大調時，F 就要升。所以我們可以 C -> G -> D -> A -> E -> B -> F# -> C# 一個調一個調移，保持全音音差為 204cent，半音音差為 90cent，大調音階為"全全半全全全半"，可依序得到所有調各音的音高。

在過程中可以發現相同音名的音高在各調都相同（大家可能覺得很奇怪，為什麼特別提這個，這不是本來就是這樣嗎？實際上等到講到純律的時候。就發現這不是理所當然的事情)

而相同升記號的音高在各調也相同。故可以整理成下表。

五度相生律升記號音高表

音名

C

C#

D

D#

E

E#

F

F#

G

G#

A

A#

B

B#

C

相對主音音分

0

114

204

318

408

522

498

612

702

816

906

1020

1110

1224

1200

相對平均律音分

+0

+14

+4

+18

+8

+22

-2

+12

+2

+16

+6

+20

+10

+24

+0

所以所有的升記號實際上是增加 114cent，這個會比全音 204cent 的一半還要多，也比平均律半音 100cent 要多。
另外 E# 不等於 F，而且還比 F 高 24cent，而相同 B# 也不等於 C，也比 C 高 24cent。



相同的我們也可以從 C 大調出發，進行降種調號移調。
C -> F -> Bb -> Eb -> Ab -> Db -> Gb -> Cb
在過程中也可發現相同音名及相同降記號音高在各調也相同。

五度相生律降記號音高表
音名	C	Db	D	Eb	E	Fb	F	Gb	G	Ab	A	Bb	B	Cb	C
相對主音音分	0	90	204	294	408	384	498	588	702	792	906	996	1110	1086	1200
相對平均律音分	+0	-10	+4	-6	+8	-16	-2	-12	+2	-8	+6	-4	+10	-12	+0

比對上下兩個表，可以發現C# 和 Db 並不相同，C# 會比 Db 高 24cent，基本上所有在十二平均律同音的升記號都會比降記號高 24cent。大調半音的位置，比如說 E# 是比 F 高 24cent。

小提琴的音準問題(二)

五度相生律的特點

五度相生律的一個音階全音距離皆相同為 204cent，而半音距離皆相同為 90cent。

也就是說全音距離較十二平均律大 4cent(十二平均律全音為 200cent)，而半音較十二平均律小 10cent!!

五度相生律

音名

C

D

E

F

G

A

B

C

相對主音頻率比率

1

9/8

81/64

4/3

3/2

27/16

243/128

2

相對前一音比率

9/8

9/8

256/243

9/8

9/8

9/8

256/243

音分

相對主音音分

0

204

408

498

702

906

1110

1200

相對前一音音分

204

204

90

204

204

204

90

相對平均律音音分

0

+4

+8

-2

+2

+6

+10

0

五度相生律的移調

一個音階有五個全音兩個半音。所以五度相生一個八度是 1200cent (5*204+2*90)。也和十二頻均律一個八度相同。 由於五度相生律的兩個半音 90cent * 2!= 204cent 並不等於一個全音。這樣會導致移調的時候，鄰近音的升記號和降記號不同音高，由於半音 90cent 小於全音的一半。所以升記號會多升一點，降記號要多降一點。這些下文會實際操作五度相生律的移調來說明。

我們從 C 大調移至 G 大調一個升記號作範例

五度相生律C大調移至G大調
音名	C		D		E		F		G		A		B		C		D		E		F		G
相對主音音分	0		204		408		498		702		906		1110		1200		1404		1608		1698		1902
相對前一音音分		204		204		90		204		204		204		90		204		204		90		204
音名									G		A		B		C		D		E		F#		G
相對主音音分									702		906		1110		1200		1404		1608		1812		1902
相對前一音音分										204		204		90		204		204		204		90

我們可以發現當從 C 大調移至 G 大調時，我們保留全音間距為 204cent 半音間距為 90cent時，
有一個音需要調整，也就是 F 要升變為 F#，而 E 和 F 的音差要從 90cent 變為 204cent ，需要增加 114cent，這個會比全音 204cent 的一半還要多，也比平均律半音 100cent 要多。

小提琴的音準問題(一)

從小提琴調音開始

        學小提琴學了一段時間後，老師開始會教學生調音。通常過程是這樣的，先對音叉或者鋼琴或其他樂器調第二弦 A弦 La 的音。調準了之後。接著同時拉奏第二弦 A弦和第一弦 E弦，由於第二弦已經對音叉或鋼琴調準，此時是調第一弦的音。這邊需要一些訓練，通常的說法是聽到某種和諧音後就是調準了。

        接著對著第二弦 A 弦調第三弦 D 弦的音。

        第三弦調好後，最後再對著第三弦 D 弦，來調最低弦 G 弦的音。

什麼是某種和諧的音

        小提琴四條弦從最低音開始 GDAE，Sol Re La Mi，或從最高音開始 EADG， Mi La Re Sol，之間的音距都是純五度，純五度音程是繼八度第二和諧的音程。

        如果 A 弦是調 440Hz(A3) 的話，那高八度的 A 就會是 880Hz(A4)。
那高五度的 E弦就會是 660Hz(E4)。

        剛好是兩個音高一半的位置。

        八度音程的比率是 1:2。
        五度音程的比率是 2:3。

        只要音程比率是簡單的整數比，那就會聽到和諧的聲音。

        當頻率接近2:3 或 1:2 但是並完全相同時，會聽到拍音。調音者在接近正確音高時，拍音會逐漸變慢，到最後聽不出來，此時就調好音了。

音程是等比率關係，不是等差關係。

        如果 A 弦是調 440Hz 的話，那高八度的 A 就會是 880Hz。
        那再高八度的 A 呢?是  880Hz + 440Hz = 1320Hz 還是 880Hz * 2 = 1760Hz?

        音程是等比率關係而不是等差關係，所以高八度應該是 1760Hz 而不是1320Hz。

        而 880:1320Hz 正巧是 2:3，也就是五度音程。
        1320Hz 是比 A4 高五度的音，所以是 E5。
        E5 是比 E弦音高(E4)還要再高八度。

鋼琴的五度不是純五度

        鋼琴是十二平均律的樂器，五度不是純五度。所以除了 A 弦可以對鋼琴調音，其他弦就不可對鋼琴調音。

        如果 鋼琴 A 是調 440Hz 的話，那鋼琴 E 應該是 440*2^(7/12)=659.255...Hz。而不是 660Hz。會比純五度小一點點。

        一般調音器大多都是做成十二平均律的，也就是說如果對調音器調 E 弦，這樣對小提琴還是不準的，還需要再高兩個音分(cent)。一般調音器刻度都是以音分為單位。

        反過來說，如果使用小提琴調音方式調準了 E 弦，去對調音器時。應該會發現音高會比調音器的音高高 2cent。

        而 D 弦小提琴音高會比調音器或鋼琴低 2cent。
G 弦的話，音高要比調音器或鋼琴低 4cent。

五度相生律

        利用五度和八度比率關係，從 A3 出發就可以依序找出音階中的各音。
        A3 高五度為 E4，E4 再低八度為 E3，所以 E3 = A3 *(3/2) / 2 = A3 * (3/4)
        A3 低五度為 D3，所以 D3 = A3 / (3/2) = A3 * (2/3)
        D3 低五度 G2，G2 再高八度為 G3，所以 G3 = A3 /(3/2)/(3/2) * 2 = A3 * (8/9)
        E3 高五度為 B3，所以 B3=A3*(3/4)*(3/2) = A3 * (9/8)
        G3 低五度為 C3，所以 C3=A3*(8/9)/(3/2) = A3 * (16/27)
        F3 可以從 C4 低五度算出來，所以 F3 = A3 * (16/27) * 2 /(3/2) = A3 * (64/81)

        這樣就可以求得五度相生律的C大調。